很多人觉得数学高深，不好理解，但其实数学很有趣，最简单的数学问题都能给我们很深刻的启示。我们有很多希望解决的问题，但如果站在更高的角度看，会发现这些问题其实是根本不可能解决的，这点不仅在数学上，其它学科也都一样。而当我们发现问题不可解决之后，我们就上了一个更高的层次，这个时候，我们对世界就有一个更深刻的了解。

　　以下我将通过几个简单的例子给大家说明这一点。

　　尺规作图

　　用圆规和直尺作图是一个有上千年历史的经典学科。尺规作图有两个简单规则：通过两点连线、由已知半径画圆。我们知道如何二等分角，三等分线段，也可以作出正五边形等复杂图形。

　　一个千年难题是，如何三等分一个角。

　　令人惊讶的是，经过两千多年来一代又一代数学家的失败以后，1837年法国数学家Wantzel（旺策尔）证明：尺规无法三等分角，同样也没有办法画出与已知圆面积相等的正方形。因为尺规作出来的图是有一定规律的，而上述这两件事是不在规律之中的。

　　这是科学史上最早的例子之一。尺规作图由于其方法的局限，所能做的事情就一定会有局限。从这里我们得出一个结论：试图完成一件事，首先要站在一定的高度，不妨先看看要做的事有没有可能，然后再决定是否要做这件事。

　　代数方程

　　在历史上很长一段时间内，人们花很多精力去解二次、三次、四次代数方程，也都幸运地找到了相应的解的表达方法，得到了解的一般公式。人们也开始尝试去解五次代数方程。

　　五次方程有五个根，这是众所周知的。但挪威数学家Abel（阿贝尔）在1823年首次证明了某些五次方程没有根式解。五次方程的解极其复杂，无法用简单的加减乘除及开根的公式表现出来，也就是说不存在一个通用的五次方程解的公式。这又一次说明了，用一个简单的表达方式来表现一个更复杂的系统是不可能的。

　　此后，年轻数学家Galois（伽罗华）就这个问题进行了深入的研究，最终给出了一般的结果，这个结果可以识别什么样的方程有根式解，什么样的方程没有。

　　是否存在靠谱的选举方法？

　　美国的选举制度导致了美国历史上多个不该当总统的人当了总统。按照类似美国选举方式进行选举的台湾，同样选上了不该当选的陈水扁。因此大家都在想，既然这个选举方法不好，那就换一个新的方法。

　　欧洲大多国家的选举方法和美国不同。比如在法国，如果第一次选举候选人的选票没有超过半数，就在得票多的候选人里再选一次，一直选到某候选人得票过半数为止。事实上这个方法也不是很好。

　　经济学家阿罗证明，唯一一个没有自相矛盾的选举方法是“独裁”，也就是由一个人说了算。独裁没有任何自在矛盾，这个决策方法在数学上看来是完美的。只要有三个以上的候选人，任何其他选举方法就肯定会有内在矛盾。

　　和选举一样，排名也是一个非常复杂过程。排名的时候需要考虑多维因素，把这些多维因素强行用一维——也就是大与小——来表达，是没有一个合理的方式可以完成的。现在的管理有人喜欢用“数字指标”，这就是把问题过分简化了。大学排名就是一个非常不科学的简单粗暴行为。

　　三体问题

　　三体问题是指找出三个天体运动的解的某种数学公式。从牛顿开始三百多年来数学家们一直在试图解决三体问题。

　　讲三体之前，先看看二体。两个天体运动非常有规则，比如地球绕着太阳转，如果没有其它星球的干扰，轨道基本是固定不变的。但到三体问题就不一样了，三体问题最重要的是其运动有一定的不可预测性，是一个混沌的系统。三体的运动是不规则的，什么情况都有可能发生。

　　《三体》小说中提到，有时候三个太阳在一起会把大地点燃，又有些时候三个太阳很久都不出现，迎来了长久寒冷的冬天，也有可能有其它各种各样的天象出现，这就是典型的三体运动现象。

　　我们现在知道，三体问题是不可解的。不可解的意思是用经典的方法三体运动是解不出来的。牛顿一直在研究三体问题。他是虔诚的基督徒，相信上帝是存在的，他想用科学方法证明上帝存在。

　　他认为行星运动非常不规则，而地球之所以能够看上去以规则的方式完美的存在于太阳系里面，一定是上帝在帮忙。每隔一段时间，当地球偏离轨道后，上帝就会把它推到一个规则的轨道上去。他花了半辈子的时间试图算出上帝是哪一天出的手，但最终没有什么结果。

　　古典力学解决力学问题的主要方法是找首次积分。动量守恒、角动量守恒、能量守恒等都是三体问题的首次积分。但完全解决三体问题还差两个好的首次积分，也就是说，能否解决三体问题取决于能否找到更多的首次积分。

　　1887年，Bruns（布伦斯）证明没有任何其他代数形式的首次积分，1889年，Poincaré（庞加莱）提出没有任何其他解析形式的首次积分。换句话说，在经典意义下解决三体问题是不可能的。这又说明了刚才那个问题，我们试图用一定的限制性方式去描述复杂的系统，结果是不可能做到的。

　　无穷大

　　下面讲讲关于无穷大的一些非常有趣的现象。首先我们需要明确的是，无穷大跟有限是非常不一样的概念。假设有10个房间，每个房间都已经住满了人，第11个人是没法住进去的。10跟11大小是不一样的，就如同20跟30大小也是不一样的。但是无穷大有一个非常奇怪的现象。

　　比如说老希开了一个旅馆，一排有无穷多个房间，我们把房间号码记成1，2，3，…。某天全部客满，但如果再来一客人，还是可以住进去的。我们可以让新客人住1号房间，让1号房间的客人搬到2号房间，2号房间的客人去3号住，以此类推，所有人都有房可住。

　　如果再来两个，甚至更多的客人，用同样方式，大家还是都有房间住的。当把我们有限的概念推到无穷大的时候，这就发生了本质性的变化。看上去不同大小的两个集合，其实是一样大的。集合大小的概念，发生了根本的变化。

　　自然数集合（1，2，3，4……）是最小的无穷大集合，

　　但非负整数集（0，1，2，3，4……）也并不比自然数集大。

　　可以证明，整数集合（0，1，-1，2，-2……）和有理数集合（整数和分数的统称）也不比自然数集合更大。

　　自然数的旅馆，可以装下所有的有理数。那有没有比自然数更大的无穷大数集呢？

　　有。1873年，德国数学家Cantor（康托尔）运用对角线方法（cantor diagonal process）证明了实数比自然数多。也就是说自然数旅馆是装不下实数的。对角线方法来源于理发师悖论这个有意思的话题。

　　什么是理发师悖论？

　　某个岛上一个理发师说：“我给所有不给自己理发的人理发。”这句话是有问题的，因为当这句话用在理发师自己身上的时候，就会自相矛盾。假设他不给自己理发，他就应该给自己理发，因为理发师说他给所有不给自己理发的人理发；但假设他给自己理发，他就不该给自己理发。这就是矛盾所在。所以这句话本身是没有意义的，它有内在矛盾。

　　很多定理的证明都是模拟这个悖论来做的，即构造和理发师悖论类似的自相矛盾的陈述。一个典型的例子是证明一个集合的所有子集的集合比原来集合要大。实数可以看成等价于自然数子集的集合。和理发师悖论一样，“没有一句话永远正确”“所有集合的集合”都是自相矛盾的陈述。

　　连续统假设

　　那么有没有比自然数（有理数）大，比实数小的无穷数集呢？

　　康托尔提出了一个猜测——“连续统假设”，认为不存在大小介于有理数和实数之间的数集。这点就像量子力学一样，能级不是连续的，只能从一个能级跳跃到另外一个能级。在1900年第二届国际数学家大会上，大卫·希尔伯特把康托尔的连续统假设列入20世纪有待解决的23个重要数学问题之首。希尔伯特的23个数学问题推动了二十世纪数学的发展，当然人们一直没有停止对解决连续统假设的努力。

　　1939年，数学家K.Gödel（哥德尔）证明“连续统假设”不可被证伪，也就是不能说是错的！1963年，数学家Cohen（科恩）证明“连续统假设”不可被证实，也就是不能说是对的！

　　这简直不可思议。一个数学命题，我们不能说它是对的，也不能说它是错的！换句话说，我们说它对的，它就对的，我们说它错的，它就错的。数学家的世界是一个公理的世界，凡事都是基于逻辑关系和基本的公理推理出来的。但是这个公理体系不可能是完备的，“连续统假设”就说明了这个问题。

　　欧几里得建立的公理称之为欧氏几何，算是数学里最早的公理体系。欧氏几何中有一条公理是“平行线永远不相交”，这条公理当时备受争议，有很多人不认同。有人试图从其它公理推出平行线公理。

　　事实上，平行线公理独立于其它公理。也就是说此公理不可用其它公理来证实，也不可用其它公理来证伪。如果我们更改了这个公理，认为平行线可以相交，就会得到所谓的“非欧几何”。

　　爱因斯坦的相对论就是基于非欧几何的前提下得出的，欧氏几何与相对论里空间的概念不一样，欧氏几何里空间是不弯曲的，而相对论认为空间是可以折叠弯曲的。这在数学里是一个非常有趣的现象，欧氏几何和非欧几何在两个不同的世界里，都有各自的应用，各自的空间。

　　早在1931年，哥德尔就证明了任何公理体系都是不完备的。不管什么样的系统之下，总会有一些问题，我们没办法证明，也没办法证伪。哥德尔的不完备定理对当初整个欧洲的数学思想、科学思想以及哲学思想的影响是非常深远的，至今被很多人认为是最伟大的数学定理。

　　智能

　　最近发展最快的、也是引起争论最多的学科是人工智能。人工智能的发展特飞猛进，一次次给我们带来惊喜。从Alpha-Go，Alpha-Zero，精准医疗，到无人驾驶，一次次特破了我们的想象。人们不禁要问，什么是人工智能的极限？是不是机器可以取代人类，统治地球、统治世界？

　　现在的人工智能是基于计算机，和基于大数据的机器学习。但从公理体系的角度来看，计算机整个系统的功能非常有限的，计算机的特点就是快，容量大。从这一点看，就像汽车比人跑得快得多，但并不比人更聪明。我们大可不必担心汽车会征服人类。

　　另外，我想强调的是人工智能的发展关键在于是数学的发展。从历史上来说，每当数学发展到有实际作用的时候，数学家就不再做了。比如说当初很多数学家研究计算机，当发现计算机有用之后，数学家就不再研究了；当初很多数学家研究统计，当发现统计学有很多实际用途之后，数学家们就不再研究统计学了。

　　数学家们通常喜欢研究抽象的、表面上看似没有实际用途的东西。

　　人工智能严格来说是个数学问题。计算机深度学习目前主要是通过人工神经网络，关于深度学习的机理我们还不是很清楚，也没有任何理由可以说明这是最好的研究人工智能的方法。人工智能要有任何新的突破，必须是算法上的机器学习方法的突破。

　　机器学习，根据以前的数据能做一些判断，从整体来说，其实就是找一个函数对应关系。而这个函数的对应关系，依靠的就是经验主义和教条主义。

　　要认清人工智能的局限，我们先看看有哪些不同层次的智能。简单来分，我们所牵涉到的有如下三个不同层次。

　　第一是我们现在所说的人工智能，也就是计算机通过机器学习和逻辑运算所能得到的一切。这种智能的局限性非常大，本质上只有简单的0+0、1+1、0+1，等运算。尽管可以千变万化，但万变不离其宗。从数学公理体系来讲，这个系统的公理假设很少，能得出的结论必然有限。

　　第二是比较高级一点是生物学智能。生物学家认为，人类行为都是通过物理化学反应所来进行的。我们的一切，包括情绪、心情、灵感都是来自于神经元的充电放电。但这种解释显然有些牵强，人类的很多行为至少在现在很难用物理化学反应来解释的。

　　第三，也就是人类所能认知的最高级智能是人类智能、灵魂人的智能。这必定远远超过了现代生物学所能解释人类所拥有的智能。也许现代生物学会一步一步地对人类智能有更进一步的理解。

　　今天给大家讲的一系列数学发展的问题，讲的这一系列不可能实现、不可能做到的挑战，主要就是希望传播一个哲学思想：当你所掌握的工具是有限的，你能得出的结果也是有限的，这些结果不可能超出现有工具所注定的范畴。

　　人对世界的理解其实还是局限于我们所能感觉到的那些小小的一部分。

　　因为有耳朵，我们有欣赏音乐的能力；因为有眼睛，我们能够看到缤纷的世界。

　　可以想象，如果造物主没有给我们眼睛，我们能理解的世界就会是一团漆黑。同样，造物主肯定有很多能力没有给我们，而这些能力又远远肯定超出了我们的想象力。

　　因此，我们对广阔世界认知至多只能说是冰山一角。

　　我相信我们人类的生命过程不仅仅是现代生物学家所描述的物理化学的过程，我们有自由的思想和灵魂，而这些感知与智能的产生肯定有我们还没有理解的更深刻的机理。

　　我们在寻找人类智能极限、认知极限的道路还有很远很远。

　　“不识庐山真面目，只缘身在此山中”，也许，大爆炸、引力波、标准模型只是物质世界的小小部分。

　　科学家，尤其物理学家总是过高估计了自己的能力，动不动要提出终极理论。而人类要彻底了解自己，了解世界，首先必须跳出人类本身，而这却是不可能的。

　　关于人类认知，摆在我们面前的只有两种可能：

　　第一个可能性是人类是特殊的群体，有造物主赋予的特殊能力，所以我们只能归依于上帝和宗教；

　　第二种可能性是我们由自然演化而来，我们只不过比猴子多演化了几百万年。

　　对于我们所知道的宇宙来说，几百万年是微不足道的时间。在物质世界里，我们只是一个过程，并不特殊。

　　问答

　　Q1

　　1931年，哥德尔提出所有的公理体系都没有办法完备，我想到以前有一部电影，人类制造出机器人后，给它设了三个公理，原本的初衷是不要危害人类，但是最后却因为这个公理而扭曲人类。我想问，如果公理在不完备的状况下，人工智能长期发展是危险的，还是必须的？

　　夏志宏：现代的人工智能我觉得是不危险的。它能做的事情很有限。我最担心的事情是碳机跟硅机两种东西结合，假设把人工智能用来编辑基因，造出不同的生命体，那就非常非常危险。

　　比如最近南科大刚出的一件事，基因编辑，产生一个新的生物体，当然这是一个简单的很不负责任的闹剧。但这么发展下去，加上人工智能，那我们所认识的人类就完蛋了。

　　计算机是教条主义，没有思想没有灵魂，但如果碳基与硅基结合，有思想的生物体出现，我们显然是不堪一击，所以我觉得千万不要随便碰基因编辑，尤其不要用计算机进行基因编辑。

　　Q2

　　因为我是从台湾来的，今天有一个细节我有一个不同的意见，就是刚才说台湾选举制度是抄袭美国的，我其实持不同的意见。

　　美国当初的选举制度是考虑到人口数各方面，川普在选举过程中是输的，只是因为选举制度而赢了。其实台湾的选举制度是综合体，它是学习美国、英国、法国、德国。台湾以前一直有一个讨论，台湾到底是总统制还是内阁制，内部讨论其实我们比较像双手掌制，就是说我们比较像法国这样的体系，有两个首长，我们的总理是由总统来任命的，但是我们历位选举选择德国单一选举机制，其实我们是很混杂的，只是我们在选票上面是以少数服从多数，并没有像法国是采取二轮的投票机制。

　　夏志宏：关于选举的理论，美国为什么是两（大）党制，而欧洲有多党制，台湾为什么是两党制，大陆为什么是一党制？这都是选举方法决定的，并不是文化决定的。

　　以前大家一直认为是民族文化的原因。经济学家研究发现，体制跟民族文化的关系没有想象的那么大。选举制度确定了以后，体系里的个人和团体都会尽力利用这个制度，或者说是尽量钻系统的空子。

　　台湾的选举制度是美国制度的改良，但其制度和美国一样，仍然确定了必然演化成和美国一样的两党制。当国民党分裂出亲民党以后，得到好处的是民进党。和美国一样，投票给第三党等同于浪费选票，所以第三党不可能成气候。

　　全球各种选举制度都出现过一些非常荒唐的现象，任何选举制度到最后都有让人非常哭笑不得的一些结果。不要再去找完美的选举制度，因为不存在一个完美的选举制度。

　　Q3

　　经营企业的人，一般应该学点什么样的数学知识？因为现在数学发展很快，将来发展的空间肯定会更大。

　　夏志宏：数学更强调是逻辑思维，我们想问题的方式跟其他学科有点不一样，我们更注重的是非常严谨的思维过程和推理过程，其他的学科都是靠实验、验证，但数学更多是依靠系统的推理。

　　我不知道对企业家们有没有什么具体的益处，但是我强调一点，数学可以锻炼人的思维能力跟分析能力，数学可以让人学会抓住重点。当然，数学还是有很多东西可以应用到实际中。

　　不少人认为数学是没有用的学科，这是大错特错的。像现在很有用的区块链、密码学、人工智能，这些都是以数学为基础的。

　　数学家最喜欢做的是把背景拿掉，抽象地看问题。

　　举个最简单的例子，比如小孩刚学数学的时候，教他1+2=3，你给他一个苹果，再加两个苹果，告诉他这是三个苹果，或者给他一个橘子，再加两个橘子等于三个橘子。

　　小孩还没有抽象思维能力，必须以实物来考虑问题。但是数学家的根本想法是，不管1，2，3背后是什么，苹果也好，汽车也好，1加2就是等于3，背后的东西并不重要。

　　数学就是寻求最基本的东西。我们学数学，就是在找万有的规律。找到这些规律后，应用到苹果上也行，橘子上也行。